回复：扔硬币的问题（正正反和正反反）

第六题我想了半天，没有任何思路.
这种题必然有巧妙解法。lz既然把题目拿出来就应该把解法也写出来。
不过实在要用迭代法倒是可以算。不知道对不对。
设F(n)为掷n次没有连续3次和为4的概率。
Fij(n)为掷n次且第一次掷出i第二次掷出j的情况下没有连续3次和为4的概率。
有：
F31(n)+F32(n)+F33(n)=F(n-1)
F13(n)=F23(n)=F(n-2)
F22(n)=F(n-2)-F11(n-2)
F12(n)=1/3*0+1/3*F22(n-1)+1/3*F(n-3)
F21(n)=1/3*0+1/3*F12(n-1)+1/3*F(n-3)
F11(n)=1/3*F11(n-1)+1/3*0+1/3*F(n-3)
F(n)=∑Fij(n)
可以把F12(n)F21(n)F22(n)都表示成F(n)和F11(n)的函数.
最后可以用这两个数列迭代求解出F(n).
即使有办法把F11(n)消掉，也是个5阶以上的差分方程，很难求出解析解。

第八题原题链接看了,确实是1/2.
原题证法如下.
设牌堆里有X张红牌Y张黑牌时使用最佳策略时获胜概率为P(X,Y).
显然有:
P(X, 0) =1
P(0, Y) =0
P(1, 1) =1/2
P(2, 1) =2/3
P(1, 2) =1/3
P(X, Y) = max( X/(X+Y), X/(X+Y) * P(X-1,Y) + Y/(X+Y) * P(X, Y-1))
数学归纳法
设P(m, n)=m/(m+n) 当m>=X n>=Y不同时成立时成立，有
X/(X+Y) * P(X-1,Y) + Y/(X+Y) * P(X, Y-1)=X/(X+Y) * (X-1)/(X+Y-1) + Y/(X+Y) * X/(X+Y-1)= X/(X+Y)
即P(X, Y) = X/(X+Y)
同时由P(X+1, 0) =1可推出
P(X+1, 1)=(X+1)/(X+2) * P(X,1) + 1/(X+2) * P(X+1, 0)=(X+1)/(X+1+1)
所以设P(X+1, Y-1)=(X+1)/(X+Y)成立
有P(X+1, Y)=(X+1)/(X+Y+1) * P(X,Y) + Y/(X+Y+1) * P(X+1, Y-1)=(X+1)/(X+Y+1)
同时对P(X, Y+1)也有类似结论。
综上所述，对任意X，Y都有P(X, Y) = X/(X+Y)成立。
所以有P(26, 26)=1/2。
已知对第一张牌叫停，获胜概率即为1/2。所以这就是最佳策略。

回复 thehand2008 :任意时刻叫停都一样。如2张牌，一红 一黑。直接叫停和第二张再叫停获胜概率一样。

这题我的错误在于只考虑到有极大机会获得超过1/2的获胜几率，却没考虑有很小的机会一无所得。所以平均下来还是1/2。
另外考虑对称原则，有秒杀解。
考虑牌堆的某种特定组合（如红黑），应用最佳策略的获胜几率设为P。则对于这种组合的对称组合（这里是黑红），应用最佳策略的获胜几率显然为1-P。
因为每种组合都有对称组合，所以最终获胜几率的期望即为1/2。

上一题我秒杀失败，不过这种有答案的题目就别浪费时间了。
第7题谁能给我解释下，完全看不懂题目。
我出10块钱买代币，赢了把10块钱拿回来？
输了我能拿回5块？那我不换又如何？
什么叫下一轮能用代币赌？

第九题
掷2次有36个结果，1 2 3 4 5 6，2 4 6 8 10 12，3 6 9 12 15 18……
这36个数的中位数是10。
掷3次中位数30。
掷4次90。
掷5次256。
所以掷4次比较公平。
10开平方3.16，30开3次方3.10，90开4次方3.08，256开5次方3.03。
这个3从哪里来的？

第11题我有点想法，可惜做到一半不会做了。
假设袋子里面有n个球，每一个球是白是黑等可能。
问前10次取出黑球的前提下，袋子里全是黑球的概率是多少？
根据贝叶斯公式有：
[C(n,n)/2^n*(n/n)^10]/[C(n,n)/2^n*(n/n)^10+C(n,n-1)/2^n*[(n- 1)/n]^10+……+C(n,1)/2^n*(1/n)^10]
即
[C(n,n)*n^10]/[C(n,n)*n^10+C(n,n-1)*(n-1)^10+……+C(n,1)*1^10]
类似的，前10次取出黑球的前提下，袋子里有n-1个黑球1个白球的概率是
[C(n,n-1)*(n-1)^10]/[C(n,n)*n^10+C(n,n-1)*(n-1)^10+……+C(n,1) *1^10]
那么袋子里面有n个球且前10次取出黑球的前提下，第11次摸出黑球概率多少？
根据全概率公式有：
P(n)=[C(n,n)*n/n*n^10+C(n,n-1)*(n-1)/n*(n-1)^10+……+C(n,1) *1/n*1^10]/[C(n,n)*n^10+C(n,n-1)*(n-1)^10+……+C(n,1)*1^10]
比如袋子里有两个球。
P(2)=[2^10+1]/[2^10+2]
袋子里有三个球。
P(3)=[3^10+2^11+1]/[3^10+3*2^10+3]
假设袋子里有1个球、2个球，……，n个球都是等可能的。
题目就是求当n趋于无穷大时，下式的极限。
1/n*[P(1)+P(2)+……+P(n)]
感觉是某个函数在0到1这个区间上的积分,可惜我积不出来。
甚至这个问题我也不知道，假设袋子里面有无穷多个球，在前10次取出黑球的前提下，第11次摸出黑球概率是多少？

这贴被二楼毁了 难道不是一样的概率吗

如果不考虑首尾，单从独立角度看，相同数值的珠路出现的概率是相同的。