我来说一下关于循环小数 repeating decimal 的问题。
首先从定义出发，任何一个repeating decimal 都可以满足一个整系数线性方程。
例如 x = 0.abcdefgefgefgefg......
那么10000000x - 10000x = abcdefg - abcd
x= (abcdefg - abcd)/ 9990000
同样 如果x = 0.999999.......
10x - x = 9.99999... - 0.99999.... = 9 x = 1
其次，我们可以把repeating decimal 看做 infinite series.
任何一个十进制下的数都可以表示成 sigma a_i * 10^i, i = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
小数也不例外。
所以0.999999... = 9* 10^-1 + 9* 10^-2 + ... = lim (n approaches infinity) sigma (k= 1 to n) 9*10^-k = 1
证明完毕。
关于repeating decimal 还有很多好玩的性质，比如cyclical numbers，和modern algebra又有着千丝万缕的联系。