求一道初中题的答案，附个人想法。【数学吧】

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求一道初中题的答案，附个人想法。

题目如下
已知实数a,b满足a∧+b∧=1,则a4+ab+b4的最小值是多少？
我是把a4+ab+b4变形成1+ab-2a∧b∧，然后令Y=ab,那这就成了求二次函数的最小值，求出结果为8分之9，可答案是0。是我的思路有问题吗，还是计算有错误，求解答，谢谢。

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来自Android客户端1楼2013-03-20 21:05回复

9/8是最大值啊，二次函数图象往下开口的，系数是负的，看清楚啊

2楼2013-03-20 21:09

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已知实数a,b满足a²+b²=1,则a⁴+ab+b⁴的最小值是多少?
a⁴+ab+b⁴=(a²+b²)²-2(ab)²+ab=-2(ab)²+ab+1=-2[(ab)²-ab/2+1/16]+9/8
=-2(ab-1/4)²+9/8;由于a²+b²=1≥2ab;故：ab≤1/2；当a,b异号时ab有最小值，假设a>0,b<0,
则有：√(-ab) ≤(a-b)/2; -ab≤(a-b)²/4;
ab≥-(a²+b²-2ab)/4=-(1-2ab)/4=ab/2-1/4;
ab/2≥-1/4； ab≥-1/2；
当ab>1/4时,是减函数；而(ab)max=1/2;
当ab<1/4时，是增函数，而(ab)min=-1/2;
故a⁴+ab+b⁴的最小值必在ab=1/2和ab=-1/2之间选择；
当ab=-1/2时，a⁴+ab+b⁴=-2(-1/2-1/4)²+9/8=0；
当ab=1/2时，a⁴+ab+b⁴=-2(1/2-1/4)²+9/8=1;0<1;
故a⁴+ab+b⁴的最小值为0：

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本楼含有高级字体3楼2013-03-20 22:01

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