1. 求证：若正整数a不是5的倍数，则a^8+3a^4-4能被100整除。
解法：
a^8+3a^4-4=（a^4+4）(a^2+1)(a+1)(a-1)
若a为奇数则(a^2+1)(a+1)(a-1)是8的倍数
若a为偶数则（a^4+4）是4的倍数
总而言之，原式必是4的倍数
只需再证明原式是25的倍数即可
由于正整数a不是5的倍数
故把数们分成4类
a≡1（mod5）a^2≡1（mod5） a^4≡1（mod5）
a≡2（mod5）a^2≡4（mod5） a^4≡1（mod5）
a≡3（mod5）a^2≡4（mod5） a^4≡1（mod5）
a≡4（mod5）a^2≡1（mod5） a^4≡1（mod5）
第一种情况（a^4+4）(a-1)是25的倍数
第二，三种情况（a^4+4）(a^2+1)是25的倍数
第四种情况（a^4+4）(a+1)是25的倍数
这样就得证了

2.设a，b，c为三个互不相等的正整数，求证a^3b-ab^3,b^3c-bc^3,c^3a-ca^3至少有一个是10的倍数。
证明：a^3b-ab^3=(a+b）（a-b）ab
当a，b中有偶数时，上式为偶数。
当a，b中无偶数时，a^2+b^2为偶数
同理上述三式均为偶数。
∴上述三式中有一个为5的倍数本题证毕。
当a，b，c中有5的倍数时，满足条件。
∴a，b，c不为5的倍数。
∴a，b，c÷5余1,2,3,4
当a÷5与b÷5同余一个数时，a-b为5的倍数，满足条件。
∴a，b，c÷5余1,2,3,4，且余数不同
∴四种情况，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4
每种情况，都有两数之和为5的倍数，满足条件。
综上，证毕。