两个正实数x和y的算术-几何平均数定义如下：
首先计算x的y算术平均数，称其为a1。然后计算x的y几何平均数，称其为g1；这是xy的算术平方根。


然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列(an)和(gn)：


这两个数列收敛于相同的数，这个数称为x和y的算术-几何平均数，记为M(x, y)，或agm(x, y)。

例子
欲计算a0 = 24和g0 = 6的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：


然后进行迭代：
etc.
继续计算，可得出以下的值：
n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.41640786500...
3 13.45820393250... 13.45813903099...
4 13.45817148175... 13.45817148171...
24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

性质
M(x, y)是一个介于x和y的算术平均数和几何平均数之间的数。
如果r > 0，则M(rx, ry) = r M(x, y)。
M(x,y)还可以写为如下形式：

其中K(x)是第一类完全椭圆积分。
1和的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

第一类完全椭圆积分。

如果证明？就是那个含椭圆积分的式子！