π（x）~ x/lnx
在图书馆一本犄角格拉的数论书里翻到的，π(x)指不大于x的素数个数，求极限的等价无穷小替换的记忆又多了一个

能斯特方程的写法好吧承认高一学这部分的时候一直错的一个东西
上面一个公式是任何一本化学书都会给出的公式，而计算时却往往用到下面一个式子，可是ln变成了lg，于是我表示眼神不好，每次用下面一个式子计算时总还是按ln键，于是每一次算出的结果都和书上大相径庭

在matrix67博客上看见的 ：给你n个数,其中有且仅有两个数出现了奇数次,其余的数都出现了偶数次。用线性时间常数空间找出出现了奇数次的那两个数
答案竟然是异或，瞬间感到自己智商弱爆了有木有！！

TAT 为啥不能楼中楼了，好吧，暂时就想到这么多，下次去图书馆看书时再更吧
姊姊好

本福特定律，这个好像也有点反直觉，一堆随机数据中以1为首位数字的数的出现机率为lg2（锑度百科说是0.3 目测很不靠谱，锑度百科果然不科学），目测介个的原理我目前知识水平理解不了了

BBP公式
π的算法从祖冲之时代的割圆术到现在的无穷级数求和好像都是一项一项算的，如果要求第2亿位需要把前2亿位全算出来才行，这里BBP公式能够求π的第N位是多少，可以说是个大创新，只不过是十六进制的第N位，十进制的类似公式貌似目前仍然没有发现

当我们写一篇英语文章时，真正自主发挥的空间只有29%，剩下的71%是靠语法以及语义等确定的
这也许有些耸人听闻，可事实的确如此计算如下：
假设英语文章为离散无记忆信源，则对于每个字符（包括空格共27个字符）而言，信息熵最大当且仅当每个字符出现是等概率的即1/27 则根据信息熵的定义，最大信息熵为-log（1/27）=4.755比特
根据香农等人测得的英语的极限熵为1.300（影响因素有很多，例如不同类型的文章极限熵是不同的，一般在0.9296 比特到 1.560比特之间，一般取平均即得到当年香农的结果）
因此英语的冗余度：γ=1.000-（1.300/4.755）≈ 72.65%
ps.由于近似等精度原因，我算出来的冗杂度和书上的略有偏差，不过在误差允许的范围内还是正确的

转自看雪论坛
嗯，这个是我看过的讲的最清楚的DES，DES是经典的块加密，将明文分成64比特分块加密，然后再整个拼起来（类比于古典密码里的多图加密），弱弱地写个助记的（大雾，这货不是伪代码）
s←分块后的64位
IP(s) //貌似这一步图中没有给出
L0←mid（s,1,16）
S0←mid（s,17,16）
For i=1 to 16 do //16轮迭代
{
L（i）= R（i-1）
R (i) = L (i-1) xor f[R(i-1),k(i)]
}
s←L（16）& R（16）
逆IP(s)
恩，其中s盒的设计十分巧妙，正好能够输出32比特（将扩展后的48比特变为32比特），深深地orz这些现代密码的发明者

数学不能缺少伪证：
∞
∑ 1/i 当时能证明这个级数是收敛的，问题是级数收敛的精确值
i=1
这个问题估计在当时与现在的NPC问题同等令人关注，于是欧拉给出了下面的计算

嘛，这个著名的耍无赖其实很早就知道了，前几个月自主招生被问到了代数基本定理（TAT代数听成算数，然后balabala说了一串唯一分解定理只见那个教授一脸茫然.....）就突然想到了它，代数基本定理指出一元N次方程在复数域内一共有N个根，于是欧拉耍无赖的地方在于sinx/x 后面那个式子是无穷次方程，可是代数基本定理并没有说一元无穷次方程有无穷个根，这是欧拉证明中不严密的地方，可是结果竟然是正确的！！愈加膜拜欧拉大神了，伪证都伪得那么漂亮

美国著名的物理学家惠勒说过这样一句话：谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
5555~~从这个标准看来我明显属于没有知识的那部分吧TAT
网上搜了下分形的几个概念，搜到的资料都很少，相比较书上的概念较严谨也更容易理解（这就是为啥我一直鄙视锑度了）
Hausdorff维度有着十分严格的数学定义，目测在离散数学全部学完之前是理解不能了，不过相比Hausdorff维度，相似维度，盒维度之类的好理解多了
拓补维度H0，Hausdorff维度 Hh和相似维度Hs有以下关系
H0<=Hs<=Hh
通常情况下Hs=Hh
弱弱得算一个雪花曲线（koch曲线）的相似维度，

每一次迭代一条直线变为4段，其中每一段的长度为原来长度的1/3，于是由相似维度定义可以得到Hs=-[log4/log（1/3）]=log4/log3≈1.262
也就是雪花曲线的分形维度为1.262

不能ps的图片
恩，类似的纸币图片都是不能用photoshop编辑的
其实一直有个猥琐的设想，如果能用类似找木马特征码的方法找到photoshop检验图片是否为纸币的最小单元并加到一般的图片中去那一般的图片也就不能被ps了，哦哈哈

对同一个问题不同阶段会有不同想法，这也是很有趣的
如何用三升的和五升的容器量出4升的水？
最早是在上小学奥数的时候遇到这个问题的，记得那时还会有各种背景小明/小红/小刚在数学课/物理课/化学课要求打1/2/3/4/5/6升水，但是只有a升和b升的容器，请问该如何/能否恰好取到
小学时的解法是很单纯的，在纸上随机模拟几次倒水，如果正好凑到那就是运气好，凑不到这道题就空着TAT~
上中学学了点基础算法后终于不再乱解，那时正好OJ上遇到这道题，想了一会儿发现无论两种容器处于哪种状态总能做出以下操作
1）大杯子中的水没满前从小杯子倒到大杯子里（或将大杯子倒满）
2）小杯子中的水没满前从大杯子倒到大杯子里
3）将大杯子里的水倒掉
4）将小杯子里的水倒掉
5）将大杯子里的水倒满
6）将小杯子里的水倒满
更进一步思考可以发现很多剪枝，于是对初始状态两个杯子都是0升开始进行BFS，于是当年我的运气就是如此的好，这样的算法都能AC
第三次遇到这个问题是学了数论以后，几乎得到了通式：对于a升和b升的容器，当a！=b且（a，b）=1时能取到从0升到a+b升中整数的水，证明也不困难，根据“用a升的和b升的容器能量出c升的水”可等价于ax≡c(mod b)有解等价于（a，b）|c
而当a，b互质时（a，b）|c 对于任意c值成立因而最大能取到a+b（两个容器全装满）升水
btw.数论真的好难啃~~

门限方案和单向限门函数
初次接触时经常会搞错的两个概念，而事实上在现代密码学中是相当重要的两个概念（又该吐槽锑度了，什么资料都查不到）
考虑这样一种情况，一个秘密被分割成n个部分分别由n个人保管，为了不使秘密泄露，当少于k个人聚在一起时不能得到这个秘密一点线索，当人数超过或等于k个人时秘密才能被重现。此时k称为门限值，这个方案叫做(k，n)门限方案
这样做有一个好处，例如n个人中若有人想私自发现这个秘密那是不可能的，因为只有当聚满k个人时才能重现；而若这n个人中有一个或两个人不配合，不说出他所知道的部分也能够将秘密重现。
实现门限方案的方法有很多，
大都基于某个数学原理，例如基于拉格朗日插值的shamir门限，以及matrix67提过的基于中国剩余定理的 Asmuth-bloom门限单向限门是指f(x)很容易计算而f(x)的反函数很难或不能计算的函数，现代公钥密码都是基于单向限门函数，事实上当计算f(x)的反函数不能找到多项式复杂度的算法计算时就称f(x)反函数不能计算
最经典的就是分解大数问题，基于此有了RSA密码；动态规划问题中最简单的01背包问题也是，所以有了背包加密(因为被找到了攻击方法，现在不被使用)；另外还有个不怎么被人所知的基于椭圆曲线的ECC密码

高考前看来得无限TJ了