卓里奇数学分析中的一道证明题

f(x)为R上凸函数，且limf(x)/x (x趋于正无穷）=limf(x)/x (x趋于负无穷）=0 求证F(x) 为常数函数。本人大一，最近见到这样一题。我的思路是通过证明f(x)在R上有界从而说明f(x)为常函数，但具体确不太会证明。学长们能指点一下吗？谢谢

若a<b使得f(a)<f(b)，则对任意的x>b，由(f(x)-f(b))/(x-b)>=(f(b)-f(a))/(b-a)得
f(x)/x>=k(x-b)/x+f(b)/x，当x>0且x>b时。令x趋于正无穷得
lim f(x)/x>=k=(f(b)-f(a))/(b-a)>0，矛盾。

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