信仰和真理之间：哥德尔的上帝观 
 
 
〔作者：网友 来源：互联网 点击数：2 更新时间：2005-10-27〕 
 
                     
发帖子之前看到了关于科学是否万能的讨论。或许很多人，不管他是科学家、数学家还是其他人，都有强烈而深刻的宗教倾向这一事实就已经说明了科学不是万能的。至少，它不能解决所有关于情感和信仰的问题。这也正是哥德尔所追求的。  

信仰和真理之间：哥德尔的上帝观  
或许生活在我们这个时代的大多数人都愿意接受伯特兰·罗素的观点：信仰和真理基本上是两回事；理性的能力虽然令人尊敬却远非无所不能。然而这看似平易人心的意见却并不见容于一个独特的人：库尔特·哥德尔。不同于我们这个时代种种流行的标新立异,哥德尔的独特来自逆于时尚的人格、深邃精妙的思想而非前卫的形貌。作为一个数学家和哲学家，他是“二十世纪最有意义的数学真理的发现者，……，近一个多世纪以来，唯一把真正基本的科学贡献与异常深奥准确的哲学探讨相结合的人”[1>；作为一个普通人，“他全无合群的爱国的自大，倒是很有些个人的自大。一切问题，他只愿诉诸自己的理性，从来不肯在时代精神面前诚惶诚恐、俯首就范”[1>。正是被这些天赋的品性和才能所驱使，哥德尔在其后半生潜心于调和信仰和理性之间的鸿沟，试图建立“精确”的宗教、哲学和伦理学，并预期“其精确程度将不逊于自然科学中最成功的学科------物理学”。  
哥德尔未能在有生之年的实现自己的理想。但是他获得某些富有启发性的局部结果。这篇小文希望可以将哥德尔的工作中较少为人所知的理性神学侧面（主要是关于上帝的本体论证明，即基于要证明之事物定义的证明）引介给读者。但正如人们所言，“思想是一条路”，不亲历其中的曲折与艰辛并不足以把握思想的本来面目。为了准确地认识哥德尔，有兴趣的读者可以进一步研读篇末列出的参考文献。  
哥德尔对上帝存在性的理性思考得自其著名的第一不完全性定理（以下简称为IA，即Incompleteness of formal Arithmetic）的启发。通过对IA的的意义加以引申，哥德尔构造了上帝存在性的本体论证明。为了简明起见，这里仅讨论证明的思想脉络而回避技术性的细节。对形式化证明感兴趣的读者可参阅[1>[4>。  
作为一个深刻而意义非凡的数学结果，IA从根本上澄清了作为一个整体的数学不可形式化的本质，证明了可能为大多数数学家所接受的朴素信念：数学不能被还原为机械的逻辑推理和符号演算，而必然具有直觉和洞察的成分。哥德尔在IA的证明中提出了一种系统化的方法将形式系统的命题编码为素数，将推演规则和公理的实际使用编码为算术运算，进而构造了一个在形式系统内无法证明的关于素数的真命题Pk（k）。Pk（k）之所以具有这一奇特性质是由于命题和素数之间的对应关系使得关于素数的命题同时也为关于命题的命题（元命题）[2>[3>。这样Pk（k）得以通过断言它自己在系统内无法证明而使得其自身为真又无法在系统内被证明。这种古老的技巧可以上溯到古希腊时代的克里特人悖论。但是哥德尔对于“可证明”这一形式概念和“真”这一直觉概念所做的区分使得Pk（k）摆脱了悖论处境而成为一个合法命题。Pk（k）类命题的存在说明形式系统的可证明性概念并不能完全把握人们关于“真”的直觉观念。值得指出的是，有研究结果表明两类形式上更自然的算术命题实际上等价于Pk（k）类命题[2>[5>，这暗示了不可判定命题可能是广泛存在的。
Pk（k）类命题的构造方法对于任何复杂得可以包容算术系统的形式系统都是适用的。由此一个自然的推论是任何复杂程度超过算术系统的形式系统必然或者是无限的，或者是不完全的。这里之所以存在第一个析取项是由于有技术上的对策通过不断将Pk（k）型命题扩充为系统的公理来避免不可证明之真命题的尴尬[2>。这种扩充过程不能有限地终止。因为将一个特定系统的Pk（k）型命题扩充为公理后所形成的新系统会产生新的Pk（k）型命题。最终扩充过程将导致一个有着可数无穷多公理的形式系统（近来有结果表明利用类似的过程可以得到所有“真”的数学命题，虽然这里的“真”要依据某种关于“真”的特殊定义[2>）。