设f(m)是m在十进制表示下各位数码和，显然有f(m)≡m (mod 9)
设n满足条件，其中（1）中2011个数分别为a1,a2,...,a2011;(2)中2012个数分别为b1,b2,...,b2012
则n=∑ai=∑bi,设f(ai)=x,f(bi)=y,
则n≡2011x≡2012y (mod 9) ⇒ x+y≡0 (mod 9)
下面在模9意义下分类讨论
(1)x≡0,y≡0 ⇒ n≥9*2012
(2)x≡1,y≡8 ⇒ n≥8*2012
。。。
(9)x≡8,y≡1 ⇒ n≥8*2011
综上n≥5*2011
下面构造例子
n=5*2011=5+5+...+5=4+4+...+4+2011满足条件。所以n≥5*20112.
n+2^n∣n+8^n=(2^n)^3+n^3-n^3+n
而 n+2^n∣n^3+(2^n)^3
所以 n+2^n∣n^3-n
n=1时显然成立。
而 n≥10时,n^3＜2^n
所以 n≤9， 此时试验即可。
（不难发现n=1，2时成立
设n满足条件，其中（1）中2011个数分别为a1,a2,...,a2011;(2)中2012个数分别为b1,b2,...,b2012
则n=∑ai=∑bi,设f(ai)=x,f(bi)=y,
则n≡2011x≡2012y (mod 9) ⇒ x+y≡0 (mod 9)
下面在模9意义下分类讨论
(1)x≡0,y≡0 ⇒ n≥9*2012
(2)x≡1,y≡8 ⇒ n≥8*2012
。。。
(9)x≡8,y≡1 ⇒ n≥8*2011
综上n≥5*2011
下面构造例子
n=5*2011=5+5+...+5=4+4+...+4+2011满足条件。所以n≥5*20112.
n+2^n∣n+8^n=(2^n)^3+n^3-n^3+n
而 n+2^n∣n^3+(2^n)^3
所以 n+2^n∣n^3-n
n=1时显然成立。
而 n≥10时,n^3＜2^n
所以 n≤9， 此时试验即可。
（不难发现n=1，2时成立
