公元前320年左右，罗德斯的欧德谟写了一部几何学史。这部著作的残篇仍然存在，人们可以从这一残篇中看出几何学命题是怎样逐渐增添起来的。公元前300年左右，亚历山大里亚的欧几里得把已有的知识搜集起来加以发展和系统化，他从少数被认为是空间的不证自明的特性的公理出发，按照逻辑原理推演出一系列奇妙的命题。换句话说，几何学是在观察实验科学中进行的演绎步骤。人们最早从埃及土地测量的经验事实中得到了某些公理，它们好象是不证自明的真理，数理几何学就从这些公理和作理想化对待的假设中，按照逻辑推理推演出无数的结论。直到不久前为止，人们发现所有这些推论都是同对自然的观察和实验相符合的。即与那时的测量误差相比，由理论上造成的原理误差完全可以忽略掉。
不了解自然科学研究方法的人们以为，古希腊的数学家和哲学家是在盲目地接受简单的直觉观念，把几何学的公理看做不证自明的事实。其实并非如此，举例来说，在平面几何中，两点间的连接直线最短就是一条公理。人们可以采用滚轮式刻度尺把其它任何一条连接曲线测量出长度来进行比较，将发现它们都比直线要长。但由于在两点间可以画出无穷多条曲线，也就永远不可能把所有可以存在的每一条曲线都测量完。因此，若是要把可以存在的每一条曲线都测量完才能判定出两点间的连接直线长度最短，人们也就只能停滞在永远不会完结的反复测量中。怎么来打破僵局呢？随便找一条视力正常的狗来做实验，丢一块肉骨在地上，看看狗是沿着什么路线跑过来就一目了然。换句话说，两点间的连接直线最短，是连狗都明白的道理，人当然也应该明白这个道理，所以它是无须再根据更基础的原理来推导的公理。



由于受认识历史的限制，平面几何的创立人最早对直线和平面所下的定义是：
1.直线是指这么一些点，它们是一样的放置着的；
2.平面是指这么一些直线，它们是一样的放置着的。
其中，什么是一样的放置着的？还没有可操作的判断依据。人们只能意会，不能深究。学习过现代机械制造原理的人应该知道，平面是把三块实物轮换相互对磨无穷多次后达到的状况。实际操作虽不能达到无穷多次，但对磨次数越多，研磨面越接近理想平面。所以，平面和直线的可操作定义是：
1.平面是把三块实物轮换相互对磨无穷多次后达到的状况；
2.直线是由两个平面相交构成的交贯线。



在人们尚不知道如何制作出理想平面的方法之前，已经知道处于静止状态的水面是极其标准的平面，可以作为检测平面误差的参照标准。虽然水平面实际是一个球面(R等于地球半径)，但对于宽度L相对很小的水平面，其中心比边沿凸出仅有L2/8R的大小。以通常能够被人们在做光学干涉实验中利用的水银反光镜尺寸来说，宽度都不大于0.4米，地球半径为6.376×106米，水银反光镜中心比边沿凸出0.0031微米。用波长为0.6238微米的单色光做干涉实验，因反光镜中心比边沿凸出0.0031微米造成的干涉条纹位置变化量等于1/100个光圈，即只有相邻两条干涉条纹间隔的1/100改变量。这是精密机械加工的面形误差极限精度，比此再高的精度，人们没手段进行准确鉴定。换句话说，在现实中的小范围之内，处于静止状态的水平面可以作为理想平面对待，而且随着水平面宽度增大，人们可以作相应的误差修正。问题是，人们若不知道平面的获得方法，就不能制作出其它平面物件来使用。没有固体形态的平面反光镜，没有可以完成半透半反的玻璃平面反光镜，仅有永远处于水平状态的水银反光镜，人们并不能做成迈克尔逊干涉实验。也就不能把水银反光镜作为对比参考标准，通过做迈克尔逊干涉实验来鉴定其它物面是否达到了相同等级精度的面形误差要求。
当然，在日常生活中，人们并不需要等级精度很高的平面来使用。普通的木板桌面用简单的木工推刨工具就可以加工出来，它相当于精密机械加工中的粗加工环节。即便是专用于照看人模样的光滑镜面，面形误差达到10个光圈（约等于3微米）也不要紧。现在的人们大都知道怎样把家具表面磨平、磨光滑，区别仅在于使用的设备是否够专业档次水平。然而，若不知道必须用3块物件循环对磨才能得到理想平面，当然也可以用5块或是7块物件循环对磨，即采用除2之外的素数块物件循环对磨无限次可以得到理想平面，用3块物件循环对磨是其中最简单的方式，只会使用2块物件相互对磨或未按照交替错开对磨的要领进行操作，结果就将与期望目标背道而驰。
古代人因为还没有研究出现代工业技术，必然要大量使用无可操作性的描述语言来给研究对象下定义，使人们获得某种约定概念，推动人类对自然的认识向前进化。必要时，还要采用现实中的事例来使人们对这些概念产生感性认识。这乃是无可奈何的处理事情方式，并非是要后人们必须永远保持着前人起初阶段的认识状况。譬如，人类在公元前还没有研究发展出数学归纳法，就只能采用部分归纳法对观察到的现象进行总结，得出普遍的分类性现象规律。因此，平行线的初始定义仅是对局部区域内任意两条等距离直线具有的共同特性进行归纳后将其推广到无限区域中去应用，属于逻辑思维并不严密的狭义概念。其实，广义的平行线是平行曲线，它的准确定义是：安装在一根轴上的两只距离固定的能以不同转速转动的轮子在平面上无滑动转动留下的两条轨迹。用数学语言描述，就是两条平行曲线上以最短距离连接且最短距离保持恒定的任意两点，具有相同的切线方向或它们的曲率半径处在同一直线上。任意两个同心圆环是最简单的平行曲线，而平行直线乃是曲线上每个点的切线方向都保持相同或其曲率半径等于无穷大的平行曲线特例。火车轨道是人们在现实中看到的一般形式的平行曲线，无论怎么延伸下去，都不会发生两条平行曲线相交的现象。
既然一般的平行曲线永远都不会发生相交现象，其中的特例平行直线也就不可能发生相交现象。有人对此产生怀疑，理由是地面上的平行直线要受到范围限制，不能像允许转弯的平行曲线那样无限延伸下去，因此做不出能无限延伸下去的判断实验。其实，人们完全可以制造出能让车辆沿着直线永远开下去的皮带道路。当车辆在皮带道路上行驶时，皮带会随着皮带轮转动不断把走过的皮带道路移到车辆前面，使行进中的车辆有永远走不完的前进道路。该皮带道路可作为测试车辆行驶寿命的实验台，只需采用光电传感器跟踪车辆的位置，把检测信号反馈给电机转动控制电路自动调节皮带轮的转速，即可保证皮带轮的转动线速度与车辆行驶速度保持相同。



据此事实，人们便可以依照数学归纳法的论证要求分两步作出如下分析：
第一步、车辆首先能在皮带道路上开始行驶，也就是N＝1时须成立，只要控制皮带轮转动的电路能进入正常工作就OK；不用担忧，车速低时更无问题。
第二步、无论车辆已在皮带道路上行驶到任何时候，也就是假定N＝K时成立，都必定会在皮带又完成一周移动之时车辆仍能继续以相同的方式在皮带道路上行驶，也就是N＝K＋1时具有与N＝K时完全相同的数学表达形式。
鉴于上述两个分析步骤已经通过，人们就能作出再无疑义的准确判断：两条平行直线无论延伸多远，即便延伸到无穷远，也永远不会发生相交。在逻辑上，任意两条平行线都永远不会相交乃是它的定义导致的必然结果。除非发生违背定义的情况，即两只轮子不再保持着固定间隔距离而重合，但这已被排除在平行线的定义域之外。即便平面几何的创立人把直线定义成它是由一样的放置着的点组成，但依据两条直线间的距离永远保持恒定的要求，也不会发生距离变为零的相交现象。这就如同人们可以说“一只猫生了狗”在逻辑上完全成立，但若是说“一只猫生了狗又没生狗”，无论事实上猫是否生狗都不能成立一样，正确的分析判断不得发生自杀逻辑。所以，有人对两条平行直线永远不会相交产生怀疑，乃是他们对平行线的概念产生了误解。
在19世纪里，高斯开创了非欧几何的数学研究，把平行线定义为能够在无穷远处相交。非欧几何作为一种数学运算工具，自然有其存在价值和某种用途，但却把平行线给弄混乱了概念，贻害不浅。须知，按照无穷大的定义，只要人们能给出任何一个具体的长度数值，无穷远都比它还要远，即便在几亿光年距离的宇宙空间范围都尚未达到无穷远。由此可见平行线能够在无穷远处相交，其实是不具有可检验性质的虚假概念。人们可以把依照非欧几何进行的数学推演结果当成启发思维灵感的一种手段来对待，人们在获得思维灵感上可以使用任何手段。无论是通过打牌、算命胡扯、做梦都无所谓，只要能产生灵感就行。但是在给出正确的科学理论时，必须经得起严格地推敲分析，还要有支持它的事实存在并且在给定条件具备时能重复再现。
很遗憾，在目前的理科教材中尚未把这些应用物理知识讲述出来。学文科的人们更不了解正确的公理体系应该如何形成，分辨不清“假说”与“假设”的区别，甚至误以为“公理”等同于“假设”，因而时常犯生搬硬套的错误。具体表现为，他们总把日常生活中出现的某种大概率事件误当成必然规律，甚至将人造规律等同于不以人的意志为转移的客观规律，进而编造出属于伪科学性质的虚假理论来胡弄自己和世人。以文科出身的经济理论研究者们发明的需求定律来说，不过是对多数情况下发生的大概率事件作了一个总体陈述，并不足以成为永恒的自然规律。但由于他们不精通自然科学，却要进行生搬硬套的摹仿，其结果就是：挖空心思折腾了一番后依然满头雾水。自己说不明白，就去借其他某个稍有名声者之口来捣一通浆糊进行蒙混对付。其实，他们不过是制作了一对“小脚鞋”，企图削小人们的脚硬塞进去。

有人做了一双小脚鞋，便命令人人都得穿上它
脚大穿不进去怎么办？妙招是把脚削小将就鞋


@张轩中

平行直线永远不会相交的演示验证实验

早在公元前二千五百年的巴比伦尼亚，国王就已经下令制定出长度的计量标准。他们先把一根手指的宽度规定为最基本的1个单位长度“指”，约等于1．65厘米；再把20指规定为1尺，约为33厘米；又把30指规定为1腕，约为0.5米；把12腕称为1竿，约为6米；把120 腕称为1绳，约为60米；把180绳称为1里，约等于现在的1公里。

在上个世纪80年代前，物理教材还在同时使用厘米、克、秒制和米、公斤、秒制两套计量单位系统。在早期引进的苏联版本教材中，多使用厘米、克、秒制做讲解，更容易看到计量单位是如何被人为制定出来。据教材上说，建立现代物理学的人们是把地球的0度子午线一周长度的多少分之一规定为1米。根据地球极半径参数可计算出沿子午线的地球周长约为39940952米，也即把0度子午线一周长度的1/39940952规定为1米。问题是，必须先制定出长度计量单位，人们才可以用它去测量地球周长。否则，除非得有一条达到地球一周长度的不会发生伸缩的钢性绳子，人们先用它把地球绕一周首尾相接得出总长，再把这条钢性绳子均分为39940952个小段，具体操作上须把整条绳子对折25次才得到1.19米的长度。这显然是不可能完成的事情！虽然英国人可以先用已在使用的英制长度计量单位“码”(等于0.9144米＝3英尺)把地球一周长度测量出来，约为44378835.6码，再经过对折25次得到1.32码长度,若将此长度再规定为新的长度计量单位，它等于1.19米，并不是1米的整倍数。换言之，17世纪建立现代物理学的人们其实是继续延用了巴比伦尼亚国王在4200年前就已经制定出的长度标准，只是为了区别起见，把60指的累积长度规定为最基本的1个单位长度“米”。



也可能是出于偶然，当人们制造出第一条金属标准米尺实物时，实际长度是多少就算多少。事实上，每个人的手指宽度并不完全相同，同一根手指前后宽度相差已达3毫米。人类在4000年前并没有精确的测量工具，也不需要毫米数量级的计量准确度，把手指宽度规定为最基本的长度测量标准，意味着小于1个手指宽度的长度计量将按照4舍5入的估计方式进行处理，并不需要再作准确细分。我不知道古代中国实际使用的长度测量工具究竟是以什么实物作为基本的计量单位长度依据，仅知道古代中国使用的长度测量尺比现在使用的长度测量尺要短。但很显然，把人体的手指宽度或两根指头伸直的跨度以及一只脚掌长度、行走时两只脚掌之间的通常跨度作为长度测量依据是自然而然的事。人们绝不可能把地球的某个直径周长的多少分之一规定为长度测量依据，那样给出的长度单位定义在实际操作上必定要发生困难。
从原理上说，任何物理量的计量单位标准都可以随意给出，当被测量与计量单位不是整倍数关系时，可用标准计量单位的若干分之一作为更小的计量单位去测量剩余部分。将标准计量单位等分为多少个更小的计量单位去测量被测量，它就是多少进制记数方式。由于对折分开是最简单的等分方式，以2进制、4进制、8进制、16进制进行记数是很自然的事，尤其在需要使用杆秤计量重量的时期，刻画一个标准重量的细分格值需要将称杆上的计量长度进行多次对折来获得均分格值，人们因而会不约而同地采用16进制记数方式。英美两国迄今还在同时使用上述4种进位方式计量重量与容积，中国到20世纪80年代也仍在使用16两秤称中药材。而是因为10进制记数最便于运算，人们才又制定出相应的新计量单位，与已有的旧计量单位进行换算使用。但人们现在制定的长度基本单位与古代人制定的长度基本单位在意义上已发生本质性改变，古代人制定的长度基本单位意味着比它更小的长度不需要再认真细分下去，而现代人制定的长度基本单位意味着是以该长度的某个实物来做第一个原始的基准进行传递。



采用游标对准方式细分读数的普通金属卡尺，重复精度可达0.02毫米；即便采用螺杆机构制作的分厘卡尺，与采用齿轮机构进行放大显示的千分表一样，重复精度也只能达0.002毫米。虽然可以把读数格值细分到 0.001毫米甚至更小，但已经是无使用价值的无效数值。若要进一步细分，就必须借助光波干涉形成的干涉条纹来放大更加微小的长度变化量，才能获得可靠的显示读数。



1960年，第11届国际计量大会通过决议6，将氪-86原子的2p10和5d5能级之间的电子跃迁辐射到真空中传播的1650763.73个波长规定为1米标准长度，取代先前制定的1米标准钢米尺长度。这使大众误以为光的波长比其它物体的形状稳定性更高，其实所有光学干涉实验设备基座都要依靠金属或石材的形状稳定性来作保证。当人们在所做的某个光学干涉实验中发现两路相干光的光程始终没有发生变化时，光波长与确定光路的实物长度其实已经完全处于相同的稳定水平状况中。人们只要找到某种控制手段使光学干涉实验所展示的达到几米的光程长期不发生任何变化，就表明采用这个控制手段，可以使确定光路的实物长度具有与光波长完全相同的稳定水平。这个控制手段实际上就是要使实物保持着恒定的温度和湿度。换句话说，人们早期规定的标准钢米尺在恒定温度（20℃±0.1℃）下与标准光波尺具有相同的稳定水平。这也正是人们在制定标准光波尺时，并没有将氪-86原子辐射在真空中传播的波长整数倍规定为1米标准长度的原因。事实上，当人们把氪-86原子的2p10和5d5能级之间的电子跃迁辐射到真空中传播的1650763.73个波长规定为1米标准长度时，它表明早期规定的标准钢米尺在恒定温度下长度变化量不大于±0.006个波长, 相对稳定性为±3.6×10-9。

反光镜每移动半个波长距离，干涉条纹相应移动1个间隔

上图是激光测长仪的光学干涉原理演示状况，干涉条纹的移动方向由参考反光镜（图中上方一只反光镜）与安装在导轨上可移动反光镜反射回来的光束夹角确定，可人为调整为需要的移动方向。反光镜改变移动方向时，干涉条纹随之调换移动方向。反光镜每移动半个波长距离约0.316微米，干涉条纹相应移动1个间隔可达10毫米以上距离。它相当于把反光镜的移动量放大了3200多倍供测量观察，人们可以用4只光电二极管接受干涉条纹，使4只光电二极管获得的输出电压呈现为正负sinθ信号加直流分量和正负conθ信号加直流分量,再用差动放大器从它们获得无直流分量的sinθ信号和无直流分量的conθ信号，进一步作20倍电子细分，即可得到对应着反光镜移动0.0158微米的记数脉冲，用可逆记数器记录下反光镜在移动过程中导致产生的电子脉冲数，将其作比例换算后在数码管上显示供人们观察。
人们之所以改用光波长来规定标准长度单位，乃是因为光在均匀相同的光传播媒介物质中传播时波长均等并且十分微小，便于人们将标准长度单位细分到微米数量级和将若干个标准长度单位进行连接。此外，由于某些物质产生的激光在使用稳频技术后能够很好的重复再现输出特定波长的单色光，重复再现相对误差不大于10-13，也就可以直接用此技术来再现标准长度尺。而在此前，标准长度单位只能靠金属标准量块来传递，从最原始的标准米尺传递出来的金属标准量块数量很有限，经过多级传递后误差会越来越大。有了重复再现稳定性极高的激光来作长度单位基准，人们就能较方便地不断制造出作为检验使用的下一等级金属标准量块。但无论如何，进行任何长度测量都必须接触实物。没有实物参与，发出的光线只能无限前进下去直到完全衰竭。所以，由实物制作的测量头在导轨上重复对准同一位置的误差限定了以激光干涉原理进行测量的最高精度。精密测长仪测量头在导轨上重复对准同一位置的重复误差约为±0.03μm，它意味着长度显示数值的计量单位小于0.06μm就失去可靠性。
到20世纪末，人们已经能把光波尺复制成实物尺。以实例来说：人们可以在精密激光测长仪上安装间距为0.02mm的玻璃光栅尺，由于光栅间隔的制造误差约为±0.5μm，50000条光栅间隔误差累计已达0.1mm，相对于1m长度，该误差已太大。若利用光栅形成的莫尔条纹获得的体现为正弦、余弦函数关系的光电转换电压信号，对电信号作40倍移相电子细分，从而使可逆记数器纪录的每个脉冲变化值相当于滑动测量头移动0.125μm，只要把测量头在机械导轨上连续移动到各个位置处由光栅莫尔条纹获得的对应数值作为地址码，把激光干涉条纹移动获得的长度计量数值作为数据码存放到存储器中记忆下来，之后再用光栅形成的莫尔条纹计量长度，所显示出来的测量数值就与采用激光干涉原理计量长度是相同的准确度。
由于测量总要经历一段时间才能完成，人们只能测量出物体在一段时间里呈现的长度平均值和相应存在的误差，并不能测量到物体在任一时刻呈现的瞬态长度真值。即便同时对长度两端进行测量，把测量时间缩短到极其极其小，以至于对准显微镜只接受到从物体被测端发射出的1个光子，也将因为单个光子的波列长度很有限，做空间频谱分析(使用傅立叶变换)可知它要由宽度不为0的直流分量与基波分量及若干倍频波分量构成，哪怕把基波分量和倍频波分量去掉，直流分量占居的空间宽度将使单个光子到达对准显微镜里的像面位置时将随机落在一段空间宽度范围内，并不是处于一条宽度为零的线上。人们就是使用没有估计误差的理想接受方式进行判断，也只能得出几率性测量结果(等于偶然误差)，此时已进入测不准原则鉴定的量子力学研究范畴。测不准原则在原理上限定着最小测量单位，到达它就只能作统计分析。

原理上必须是所有光子波列首尾连接成单一频率的正弦波时到达像面位置才落在唯一点处
单个光子到达对准显微镜里的像面位置时将随机落在一段空间宽度范围内


由于现实之中的任何物体都不是假想出来的刚体物，它们所呈现出来的几何长度都会受到温度与湿度影响。在相同环境温度条件下制造出来的同尺寸螺杆与螺套，在温度发生改变后，会因为不同材料的变形量不一致导致它们的长度不再保持着相同，螺杆装不进螺套之中。即便是完全相同的材料，在温度发生改变之后，尽管它们的长度保持相同，螺杆能够装进螺套之中，但它们的长度也已经随着温度改变发生了相应改变，同长仍具有相对性。原理上，人们把标准尺放到两个不同的地点A与B，在环境温度、湿度相同条件下，根据标准尺，分别在A处制造出一根螺杆，在B处制造出一根螺套，二者的螺纹参数完全相同且没有制造误差，当把它们放到一起时，螺杆都正好旋进螺套之中，既不会卡住，也不会松动。当然，要制造出良好的精密螺杆、螺套，还得控制好螺纹形状角度，也就必须建立起角度计量基准才可以应用。



测量长度用的量块可按常用尺寸加工出系列厚度的金属矩形平行板，长度较长时可制作成圆柱形状，两个使用平面的平行度根据传递等级要求在相应的误差之内(至少不大于0.1微米)，再用激光测长仪测量出它们的实际长度，标记在量块侧面，方可作标准长度基准使用。而测量角度用的角规另有其特点，它的原始基准就是一个整圆，怎么从一个整圆分解传递出处于0到半个圆周之间的其它标准角度，首先要有能够测量角度的精密仪器。光学准直望远镜是专用来检测标准角规的常用仪器，在其内部光学系统中分别有两条公用一个物镜的光路，在照明光路处于物镜焦平面的位置安放着一面刻有十字线的玻璃分划板，在观察光路处于物镜焦平面的位置安放着一面刻有标尺线的玻璃分划板。照明光路上的十字线被灯光照明后经过物镜成像到外面无穷远处，当物镜外面前方有镜面把出射光反射回来时，将经过物镜成像在观察光路玻璃分划板上，人们便可以通过目镜观察到十字像和分划板上的标尺线。为了获得较良好的对比度，照明光路的十字线会制作成透射线条，十字线周围镀上阻挡光线透过的金属膜。同时在照明灯与十字线玻璃分划板之间隔一块绿色滤光片，使看到的十字像呈绿色，以免眼睛容易疲劳。为了精确测量出十字像的位置，还会另外在标尺分划板附近安放一面刻有双套线的可移动分划板，通过锣杆机构进行微调对准十字像。




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