更正：sin((pi+a)/2)=cos(-a)=cos(a)

....
Let X,Y be the midpoints of AB & ST respectively..
1/PC=1/2×（1/PA+1/PB）<==>AP*BP=CP*XP<==AP*BP=SP^2=YP*OP=CP*XP

第一问：取AB中点M，ST中点N……
根据垂径定理，
∠OMP=∠ONS=90°，
注意到∠OSP=∠OTP=90°，
所以P,S,M,O,T五点共圆，O,N,C,M四点共圆
故PC*CM=SC*CT=AC*CB，PC*PM=PN*PO，
两式相减，
可得PC²=PN*PO-AC*CB，
根据射影定理有PN*PO=PS²=PA*PB，
因此PC²=PA*PB-PC*CM，
注意到2/PC=1/PA+1/PB等价于
PC*PM=PC*(PA+PB)/2=PA*PB，
即PC²=PA*PB-PC*CM，
因此原命题成立。

同求第二问

初三讲调和四边形人家听不懂的