武安君和武安的关系，应该是先有武安君后有武安这个地名。

看百度百科“武安君”词条解释：
　武安者，以武功治世、威信安邦誉名！最早出自西周，历朝历代国之能安邦胜敌者均号“武安”，武安君亦如此，战国时期盛行的封君制是春秋时期分封卿大夫的继续。“君”是卿大夫的一种新爵号。
百度知道，“武安名字的由来”：
胡注《通鉴》注秦“封白起为武安君”云：【班志，武安县属魏郡。战国之君分封其臣，如平原、武安之类，非真食其县之入也。张守节曰：言能抚养军士，战必克，得百姓安康，故曰武安。】
看来，应该是先有武安君，后有武安这个地名。