复数的产生可以看做是新的一次数系的扩充
实数虽然已经具有完备性（即实数序列的极限如果存在那么一定是实数 与之对比 有理数序列的极限存在也未必是有理数 也可能是无理数） 但它仍然不是代数封闭域 实系数多项式方程的根未必是实数 最简单的例子就是x^2+1=0并没有实数根
在求解上面这个代数方程的时候人们无法理解平方是-1的数代表什么 只是以字母i来标记 这就是早期引入复数的思路
（待续）

复数用形如z=a+bi的符号来表示 其中的a和b都是实数 分别叫做z的实部和虚部 i满足i^2=-1 但这里的加号使用不是必要的 也并非是直接相加的含义 就如同对向量的表示中 A=ai+bj+ck 这里的加号也只是罗列出分量的含义
一个复数a+bi对应于一个有序实数对(a,b) 所以用二维空间中的向量来表示复数是合适的 实际上复平面解析地同胚于二维欧氏空间 这是后话
复数的共轭定义为z*=a-bi 即实部不变 虚部反号
对于两个复数z1=a+bi z2=c+di 定义加法运算z1+z2=(a+c)+(b+di) 定义乘法运算z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i 这两个运算各自满**换与结合律 而两者之间满足分配律 从这里可以看出 用加号表示复数实部与虚部之间的关系的方便之处
可以证明一个复数与其自身的共轭之乘积一定是实数(a^2+b^2) 它的算术平方根叫做复数的模 记做|z| 相应地辐角的概念是argz=arctan(b/a)
显然 加法运算的单位元是0 而乘法运算的单位元是1 对一个复数取逆元 对于加法运算可以简单地定义为-z 对于乘法运算（当|z|≠0时）是1/z=z*/|z|^2 到这里减法与除法运算都可以定义 到此我们可以证明 如此定义的复数的加法与乘法运算下 复数集都可以构成阿贝尔群 因此它是一个域 今后我们称之为复数域
（下帖起我们会在此基础上对复数的各种表示方法及运算以及不同表示方法的等价性做介绍 再后面将介绍以复数为变量的函数较以实数为变量的函数的新性质 至于本楼后半段可能有些理论化）

下面就说说复数的描述方法好了 实际上 由于上文所说的每个复数与一个有序实数对一一对应 所以任何对有序实数对的描述都可以应用到复数的描述上 但由于对于复数定义了其独有的不同于普通有序实数对的乘法运算 所以其描述方法更多一些
（1）几何表示与向量形式
因为我们说一个复数对应一个有序实数对 那么最简单的考虑便是用平面上的点表示复数 相应的平面就叫复平面 点的Z坐标为(a,b)时表示的复数是z=a+bi 或者说用矢量OZ表示这个复数 O是复平面的原点 这种用平面直角坐标系表示复数的方法使用时复数加减法就对应向量的加减法 直观性强 但对于乘除法的运算没有什么直观性
（2）极坐标形式的复平面与三角表示
我们知道对于平面上的点 用极坐标(r,θ)来表示也是常见的 那么对于复数z=a+bi 用极坐标的形式来表示就变成了z=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ) 这也就是复数的三角形式 容易证明这里的r正是上面定义的复数z的模 它代表复平面上表示该复数的点与原点的距离 这也是实数绝对值概念的推广（注意实数的绝对值就代表数轴上表示这个数的点与原点之间的距离） 而θ正是复数z的辐角
对于加减法运算 我们仍然可以直观地看作向量的加减法 但对于乘除运算 可以看出z1*z2=r1*r2*[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]=r1*r2*[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 即——模相乘 辐角相加 类似地可以得到除法运算正是模相除而辐角相减
（3）指数形式
上面的极坐标表示以及相应地推广而来的复数的三角形式使复数的乘除法运算也直观了起来 但是乘除的运算对应到辐角却成为加减运算 这很容易使人相到对数运算法则log(A*B)=logA+logB 本段来说明复数可以有指数的表示形式
考虑z/r=cosθ+isinθ 即只考虑辐角相关的部分 把这两项在θ=0邻域做泰勒展开（运算方法见高等数学帖相关章节） 得到cosθ+isinθ=(1-θ^2/2!+θ^4/4!-...)+i(θ-θ^3/3!+θ^5/5!-...)=1+iθ+(iθ)^2/2!+(iθ)^3/3!+...=exp(iθ) 这里利用了i^2=-1的性质 这样就证明了辐角的确可以表示在指数上 即z=rexp(iθ) 这样复数乘除运算中对辐角部分的操作是加减运算也就不难理解了
实际上以复数为变量的函数的解析表达式都是以对原来以实数为变量解析式的泰勒展开定义的 这个方法不但可以推广到变量是复数 甚至可以推广到变量为更大数系中的数甚至是矩阵
（4）矩阵表示
对于一个二维向量 用矩阵(a,b)来表示是常见的方法 但是考虑到复数固有的运算定义 可以用另外的矩阵表示方法 如利用矩阵
|a b|来表示复数z=a+bi
|-b a|
这样复数的乘法可以直接通过矩阵乘法的方式完成 这个矩阵的行列式可以代表该复数的模平方 它的两个特征值恰好是z及其共轭

这课我跪了……

看来我应该上学期写？不过我讲的都是科普性质的……

期末考试的时候我编程来着……然后就跪了……

你把考试给忘了？

反正比较严重……

在接下来讲复变函数之前先讲点简单的复数应用
首先要强调一点 就是在对世界的数学描述中 复数并不是必不可少的 因为无论如何提高实验条件 对任何可观测量的测量都一定会返回一个实数
这一点从复数及其运算的定义也不难理解 因为每个复数对应的就是一个有序实数对 两个复数相等的含义是它们的实部与虚部分别相等 这句话就相当于说 任何一个复方程都可以用两个实方程等价地写出来
但是在某些时候 利用复数进行描述可以大为简化 使人类从冗长的方程中迅速看出各变量的本质 甚至因此给出新的思路（如今后要介绍的解析函数的概念） 而与之等价的两个实方程则有可能会掩盖这一切
按照上一段三角形式与指数形式的介绍 真实世界中单频率的周期行为都是适合用复数来描述的 例如振动与波动 用z1=A1exp(iωt) z2=A2exp(iωt+φ)可以表示两个振动 指数上加上-kz就表示振动在空间中的传播 即波动 没有非线性扰动的介质中两个振动是可以直接相加的 所以如此描述衍射与干涉等现象并不困难 对于只有两个震动的简单情况 复数描述比起实数形式没有明显的优势 但对更复杂情形的处理就可以看出复数描述的优势来 例如波动光学中的大量应用
对于非纯电阻交流电路 以只含电感为例 基本方程可以写作iR+Ldi/dt=ucosωt 它的求解并不困难 但如果只考虑稳态的情况 使用复数形式来描述会大为化简 把电路各段的电压U都用复数形式表示 可以发现电路的不同部分电压的峰值并不是同时到来的 电感上会比电阻上迟1/4周期 而这两个复数表示的电压之和始终是复数表示的电源电压——每个复数表示的电压的实部代表的都是实际电路中的电压 如此 这个电路“电阻”也可以用一个复数Z=R+iωL来表示 称为阻抗 此时推广的欧姆定律i=u/Z是成立的 从各物理量的辐角关系可以判断它们的相位差
最后一例 大猴子你还记不记得当年那个诡异的问题——圆周上均匀地分布N个电荷 电量依次是q,2q,...,Nq，计算圆心的电场

额。。。希望毛哥把黎曼面那部分讲细点，我看的时候有点晕。。。

啊 也好 下一帖就该讲复变量函数了

下面介绍一些解析函数的例子 基本初等函数及其有限次复合（结果称为初等函数）在其定义域内都是的 且对于单值函数它们在定义域内也是解析的（这里暂且不讨论多值函数的问题） 一个函数不解析的点称为它的奇点
1 幂函数z^a 当a是正整数时 只有无穷远点是奇点； 当a是负整数时 只有z=0是奇点； 当a=0时它是常数函数 在整个扩充的复平面解析 常数函数是唯一一类在包含无穷远点的全平面解析的函数（下文若有兴致将给出此证明 并由此得到代数基本定理的最简单的一种证明方法）； 当a不是整数时 z^a是多值函数 这一点在今后会有讨论
2 指数函数e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny) （若底不是e只需在乘lna次幂） 它只在无穷远点不解析 顺便这个函数具有一个纯虚的周期2πi
3 对数函数lnz 它在z=0和无穷远点都不解析 此外它是一个多值函数 下文会有介绍
4 三角函数sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2 如此便可以通过指数函数的定义给出复三角函数的定义 当然向复数的扩展也完全可以通过泰勒展开来定义 如最初对复变量指数函数的定义 这两个三角函数只在无穷远点不解析 它们可以复合出其他常用的三角函数
5 反三角函数arcsinz=-iln(iz+(1-z^2)^(1/2)) arccosz=-iln(z+(z^2-1)^(1/2)) arctanz=i/2ln((1-iz)/(1+iz)) 因为是对数与根式的复合 它们都是多值函数

今天简单讨论一些多值函数的问题 首先以根式函数√z为例
在实数情形 我们知道一个正数是两个数的平方 如4=2^2=(-2)^2 我们把其中正的那个叫做这个数的平方根 并且可以把根式函数定义为平方根以消除歧义 因为对于一维保模变换是分立的 但到二维或更高维的情形 保模变换要由连续的操作来描述 因而这也造成根式函数定义的困难
标记f(z)=√z 对于z=rexp(iθ) 可以定义f(z)=(√r)exp(iθ/2) 只要规定辐角在一个周期内变化 的确可以唯一地确定一个复数的平方根 事实上用复变函数作为工具解决问题时 如果碰到多值函数我们经常这么处理
但考虑一个具体的情形 固定r=1 即自变量在单位圆上变动 规定辐角取值范围是[0,2π) 可以看出从z=1开始 沿单位圆连续地变动一周时 f(z)从1连续地变动为-1 也就是在z=1点函数出现不连续性 自然也不再解析 而实际上这个不解析性是人为的 无论我们如何选择辐角的变化范围 只要是要求它在一个周期内变动 端点处一定会出现这种人为的不连续性 这个方法是为多值函数定义单值分枝
另外我们注意到只要自变量连续变动的行为没有绕z=0点一周 那么自变量连续变化到复原时 函数值也复原 所以z=0叫做这个函数f(z)的枝点 注意无穷远点也是函数f(z)的枝点 上面的处理方法实际上就是在复平面上画出一些割线割裂它 这些割线把枝点连接起来 只要自变量连续变动的过程中不跨越割线 就不会出现绕一个枝点一周的情形 从而也就不会出现自变量连续变动复原后函数值无法复原的情况 这是一种简单实用但牺牲美观的描述方法
另外一类描述方法就是黎曼面的方法 实际上这是相当于为多值函数给出新的定义域

这张来自网络的图片给出的是f(z)黎曼面的外观 它实际相当于把f(z)的两个单值分枝粘合得到 即把第一个单值分枝割线的上岸与第二个单值分枝割线下岸粘合 而把第而个单值分枝的割线下岸与第二个单值分枝的割线上岸粘合 如图
1
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如此z的变动不受限制 没有人为的不连续性
另外一个常见的多值函数是对数函数f(z)=lnz 对于z=rexp(iθ) 有f(z)=lnr+iθ 它的虚部随着辐角的增大并不会复原 它的黎曼面外观如图 是螺旋形



复变积分更多内容就不讲了
话说留数定理倒是很好用的 （话说留数还有个好名字叫残数 @残血轻梦 ）