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曼德布罗特是在波兰出生的法国数学物理学家，供职于IBM公司。他发展的分形几何，对混沌理论的产生起着举足轻重的作用。他大部分的开创工作完成于20世纪70年代，并将自己充满旁征博引的研究成果以插图本出版，书名为《分形：形式、机遇和维数》。没有人知道他在讲什么——主要是因为文字难以透彻理解。1977年，经过精心修订的版本面市，书名为《自然界的分形几何》——分形几何激发了科学家们的想象力。
测量海岸线的长度
在一篇著名的论文中，曼德布罗特提出这样一个问题，“英国的海岸线有多长？”假设用一把两脚规来测量，则得出的结果只能是近似的，因为测量的工具的原因，其中的弯曲和迂回处都被忽略了。
假如我们把两脚规用小一些的开度，比如说10厘米，来测量海岸线，再重复上述过程。那么测量结果就会更长一些，因为这个尺度能够将弯曲和迂回计算在内。
将两脚规的开度放小到5厘米，则会得到一个更大些的总长度。如果我们采用越来越小的开度来测量海岸线，那么得出的总长度就会越来越大。当我们逐渐趋近一个非常小的尺度时，海岸线的长度就会越来越大，并且无限的增加。
分形维数
曼德布罗特认为，我们能观察到的事物，取决于我们的观察角度和测量方法。以足球为例。从远处看，它像个二维的圆盘。走近一些，它就成了一个三维物体。那么，在“远”点和“近点”之间的区域情况是怎样的呢？二维物体在哪个点转变为三维物体呢？
什么是分数维
我们现在使用的几何要归功于古希腊的数学家欧几里得（Euclid，约公元前300年），欧几里得形体是规则的——三角形，正方形，圆形，长方形。分形几何是一种关于不规则形体的特殊类型的几何。分形是一种方法，用来测量舍此就无法清晰定义的客体的性质：即其粗糙、破碎或不规则的程度。
实际上，分形是理解无穷的一种方法。
曼德布罗特：“fractal这个词是我在1975年根据拉丁语fractus杜撰出来的，后者指破碎的石头——被打碎变得不规则了。相对于欧几里得形体而言，分形是一种完全不规则的几何形体。首先，它们整个形体都是不规则的。其次，它们在所有的数值范围内的不规则程度是相同的。一个分形物体无论从远处还是近处，看起来都是一样的——它具有自相似性。”
字相似性意味着一个分形系统的任何次系统与整个系统都是相等的。在分形三角形中，每个小三角形的结构都与大三角形是完全一样的。虽然一些小的分形只是在统计学意义上的自相似——它们放大的小块并不能增大整个系统——但是，它们确实具有相同的外观。
分形能够揭示混沌抽象的几何本质，特别是以计算机图形的形式。
在整个形体内部，存在着一个重复的模式，它的精细结构刻画出了混沌的本质，预示着可预测性的终结。
分形的用途
现在，分形几何被用来描述各种复杂现象。分形还能帮助我们理解湍流，了解它如何产生以及自身的运动情况。
血管也可以认为是分形，因为它们可以被逐步细分成无限小的部分。它们进行所谓的“空间魔术”，将大的平面区域挤压成有限的体积。
肺部和消化系统也是一种分形。
从金属表面的分形维我们可以看出它的强度。
曼德布罗特的名字还被用到了这个著名的分形上——即众所周知的曼德布罗特集。
全球有数百万人在观看分形数学——当他们坐着看完《星球大战》三部曲时——而他们自己并不知情。电影中外星球的地形就是在计算机里利用分形制作出来的。实际上，分形现在已成为电影特技的一个重要组成部分。
测量海岸线的长度
在一篇著名的论文中，曼德布罗特提出这样一个问题，“英国的海岸线有多长？”假设用一把两脚规来测量，则得出的结果只能是近似的，因为测量的工具的原因，其中的弯曲和迂回处都被忽略了。
假如我们把两脚规用小一些的开度，比如说10厘米，来测量海岸线，再重复上述过程。那么测量结果就会更长一些，因为这个尺度能够将弯曲和迂回计算在内。
将两脚规的开度放小到5厘米，则会得到一个更大些的总长度。如果我们采用越来越小的开度来测量海岸线，那么得出的总长度就会越来越大。当我们逐渐趋近一个非常小的尺度时，海岸线的长度就会越来越大，并且无限的增加。
分形维数
曼德布罗特认为，我们能观察到的事物，取决于我们的观察角度和测量方法。以足球为例。从远处看，它像个二维的圆盘。走近一些，它就成了一个三维物体。那么，在“远”点和“近点”之间的区域情况是怎样的呢？二维物体在哪个点转变为三维物体呢？
什么是分数维
我们现在使用的几何要归功于古希腊的数学家欧几里得（Euclid，约公元前300年），欧几里得形体是规则的——三角形，正方形，圆形，长方形。分形几何是一种关于不规则形体的特殊类型的几何。分形是一种方法，用来测量舍此就无法清晰定义的客体的性质：即其粗糙、破碎或不规则的程度。
实际上，分形是理解无穷的一种方法。
曼德布罗特：“fractal这个词是我在1975年根据拉丁语fractus杜撰出来的，后者指破碎的石头——被打碎变得不规则了。相对于欧几里得形体而言，分形是一种完全不规则的几何形体。首先，它们整个形体都是不规则的。其次，它们在所有的数值范围内的不规则程度是相同的。一个分形物体无论从远处还是近处，看起来都是一样的——它具有自相似性。”
字相似性意味着一个分形系统的任何次系统与整个系统都是相等的。在分形三角形中，每个小三角形的结构都与大三角形是完全一样的。虽然一些小的分形只是在统计学意义上的自相似——它们放大的小块并不能增大整个系统——但是，它们确实具有相同的外观。
分形能够揭示混沌抽象的几何本质，特别是以计算机图形的形式。
在整个形体内部，存在着一个重复的模式，它的精细结构刻画出了混沌的本质，预示着可预测性的终结。
分形的用途
现在，分形几何被用来描述各种复杂现象。分形还能帮助我们理解湍流，了解它如何产生以及自身的运动情况。
血管也可以认为是分形，因为它们可以被逐步细分成无限小的部分。它们进行所谓的“空间魔术”，将大的平面区域挤压成有限的体积。
肺部和消化系统也是一种分形。
从金属表面的分形维我们可以看出它的强度。
曼德布罗特的名字还被用到了这个著名的分形上——即众所周知的曼德布罗特集。
全球有数百万人在观看分形数学——当他们坐着看完《星球大战》三部曲时——而他们自己并不知情。电影中外星球的地形就是在计算机里利用分形制作出来的。实际上，分形现在已成为电影特技的一个重要组成部分。
上图是曼德布洛特集最常见的表现形式，它给我们提供了一种理解周围世界的粗糙程度的方式。这一以数学家贝努瓦·曼德布洛特命名的理论观察到，不管是在物理、生物和经济等各种领域中的许多复杂现象，都可以“以严格而有力的定量形式逼近。”
1982 年的贝努瓦·曼德布洛特
曼德布洛特生于华沙，为躲避纳粹而和家人移居法国。在法国，这位年轻的博学者开始了他的研究生涯，一生中在全世界许多最有名望的学术机构中任职，其中包括加利福尼亚理工学院、新泽西州的普林斯顿高等研究院，以及巴黎的法国国家科学研究中心。他的职业生涯大部分时间是作为 IBM 的研究员度过的，在这期间他首次遇到了那个引领他观察到他最著名的理论的问题。在 20 世纪 60 年代，IBM 科学家对于有时会干扰他们的传输、引发错误的电子“噪声”非常头痛。虽然他们注意到问题出现在集群中，但无法更进一步地识别问题所在，直到曼德布洛特注意到这些噪声形成了一种模式，对它们越密切地检查，这一模式似乎就越复杂。
更进一步
曼德布洛特的观察为他于 1982 年发表的创造性的著作《自然的分形几何》提供了素材。在这本著作中，他创造了“分形”（fractal）这个词，源于拉丁词 fractus，意思是破坏的或者断开的。
再进一步
理解曼德布洛特的观察的最佳方式是思考这个让数学家们在年轻时非常着迷的极其简单的问题的答案：“英国的海岸线有多长？”答案取决于你看待海岸线的尺度。绘制地图的人画的线可能是笔直的，但靠近了观察则是弯曲的。越是放大，就会显出越多的曲折，如此重复，无穷无尽。
图形形式的主意
作为一种更好地理解曼德布洛特的想法的方式，你可以看看本文相册中的图片，它们从第一张开始，逐渐放大，展露细节，这些都是根据等式 z = z2 + c 所绘出的。
海马的尾巴
曼德布洛特的成果带来的出乎意料的结果之一是这些图片变得非常流行，人们在杯子、T 恤和相册封面中运用这些图片。
放大海马的尾巴
在曼德布洛特发展起他的理论之前，数学家们拒绝从几何角度尝试理解类似云或海岸线之类的对象，称它们是“可怕的”、“病态的”。
双钩
