第20届全俄数学奥林匹克竞赛试题

在凸n边形的顶点处放置一些火柴，每次操作允许将某个顶点处移动两根火柴，分别放到它两侧相邻顶点处各一根，求证：如果若干次后，各顶点处的火柴恢复到和以前一样，那么操作的次数为n的倍数

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证明：设各顶点执行操作次数分别为k[1]，k[2]，……k[n]
显然有2k[1]=k[n]+k[2]，2k[n]=k[n-1]+k[1]
2k[i]=k[i-1]+k[i+1] (i不等于1或n时)
设k[1]=a，k[2]=b，可得k[3]=2b-a，k[4]=3b-2a,……,
k[n]=(n-1)b-(n-2)a,再代入2k[n]=k[n-1]+k[1]，得a=b
k[1]+k[2]+……k[n]=b(n-1)n/2-an(n-3)/2=an
证毕

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