☣单变量函数的高阶导数和高阶微分
     在研究某个函数f(x)时，我们有时候还要看一下其导函数随着自变量变化的趋势，这就是高阶导数的起源。
      我们先从单变量函数高阶导数、高阶微分说起。
      单变量函数的二阶导数定义为
          f''(x₀)=(f'(x₀+Δx)+f'(x₀))Δx
      这个式子跟一阶导数的式子差不多。
      那么微分呢？？？从一阶微分的定义来看的话dy=f'(x)dx，这么来说就是要牵扯到f'(x)和dx这两个量，所以我们还要说明一点就是取微分的时候，两次的dx一样，这样就保证dy是只关于x的函数了。
      若函数f(x)的导数f'(x)仍然可微，则将dy在对x进行一次微分称为f(x)的二阶微分，记为d²y，那么
          d²y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)dx²
      这么就定义了单变量函数的二阶微分，类似的可以定义高阶微分。
       上述比较简单，只作为抛砖引玉。因为刚才的函数是从点到点的映射，而向量函数是点集到点集的映射。为了起到引人入胜的效果，下面再来看看多变量函数的高阶微分和高阶导数，然后过渡到向量函数的。


☣多变量函数的高阶导数和高阶微分
     先看二元函数
      二元函数的二阶偏导数也无非就是把一阶偏导数再微一遍。设u=f(x,y)在D内对x的偏导数∂u/∂x=f'_x(x,y)存在，若∂u/∂x对x的偏导数也存在，我们把这个偏导数称为u对x的二阶偏导数，用∂²u/∂x²记之。如果∂u/∂x对y的偏导数也存在，那么弄出来的就是混合二阶偏导数记作∂²u/∂x∂y
      类似的可以定义n元函数的二阶偏导数和高阶偏导数——不就是再取一次导数嘛！！
       对于可微函数u=f(x,y)，当dx,dy固定时，它的微分du=f'_x(x,y)dx +f'_y(x,y)dy仍然是x,y的函数，如果du还是x,y的可微函数，只为了好玩，试试在取一次全微分。就是d(du)=d²u，称为f(x,y)的二阶全微分。当然还可以定义三阶全微分——d³u=d(d²u)。当然可以定义n阶全微分d^nu=d(d^(n-1)u)
       那个d^nu=d(d^(n-1)u)看起来不是很吓人，所以说，为了吓唬一下局外人，不妨再弄出高阶全微分的计算公式。考虑一阶全微分的表达式
         du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy
      立即可以得到
          d²u = d(du) = ( ∂((∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy)/∂x )dx + ( ∂((∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy)/∂y )dy = (∂²u/∂x²)dx² + 2(∂²u/∂x∂y)dxdy + ∂²u/∂y²)dy²
      当然你也可以带一下弄出d³u，不过你会发现，越高阶，其表达式越复杂，但是，有没有注意到，上面这个式子很想二项式展开！！多试几次，其实
          d²u = (dx(∂/∂x) + dy(∂/∂y))²u
         d³u = (dx(∂/∂x) + dy(∂/∂y))³u
         d^nu = (dx(∂/∂x) + dy(∂/∂y))^nu
       应该有概念了，高阶导数一般的定义方法就是告诉他“把上一阶导函数再取某个自变量的导函数”，而定义高阶微分的时候先要说明d（自变量）不变，然后做一下“d（因变量）也是关于它的可微函数”的阐述。然后告诉他再去一下微分或者再去百八十下微分。

关于这些东西……我啥也不想说有点基础哈


应该有需要的。

越发地觉得，不屑这等大神，吾等只有膜拜的份⋯⋯⋯⋯⋯⋯幸好老娘是搞物理的，不用和这等变态比⋯⋯⋯⋯⋯⋯

对了，你那个论坛我给帮忙发了两贴。是不是还要普及一下微积分呢

我准备说完三角函数在讲，话说，你真是个好基友！！！

我终于又在有生之年见到你了！！！

哼，等到物理学高深了，你就会后悔没有把自己弄这么牛……

又看到你了啊。

怎么啦