【ˊRhine、习题〗________扩展创新题【莱茵河畔贝多芬的悲伤吧】

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【ˊRhine、习题〗________扩展创新题

如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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1楼2011-04-25 18:52回复

解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D．如图，

（2）结论为EF=FD．
EF=FD仍然成立．
证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵∠1=∠2，AF为公共边，
∴△AEF≌△AGF．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60度．
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60度．
∴∠CFG=60度．
由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD．
∴FG=FD．
∴FE=FD．

证法二：如图2，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF=60°+∠1，FG=FH．
又∠HDF=∠B+∠1，
∴∠GEF=∠HDF．
∴△EGF≌△DHF．
∴FE=FD．

2楼2011-04-25 18:54